TURUNAN FUNGSI

Definisi turunan  bisa dijelaskan sebagi berikut misalkan ada y yang merupakan fungssi dari x, ditulis y = f(x). Yang dimaksud dengan turun y terhadap x (dinotasikan dy/dx) atau sering ditulis y’ (baca : “y aksen”) didefinisikan sebagai

contoh:
y = 4x maka nilai dari turunan tersebut adalah

Rumus – Rumus Turunan Fungsi Matematika

Rumus 1 : Jika y = cxⁿ dengan c dan n konstanta real , maka dy/dx = cn x^n-1

contoh
y = 2x⁴ 

dy/dx = 4.2x^4-1 = 8x³

Rumus 2 : Jika y = c dengan c adalah konstanta maka dy/dx = 0
contoh:

 y = 6

 y’= 0

Rumus 3 : Jika y = f(x) + g(x) maka turunannya sama dengan turunan dari masing-masing fungsi = f'(x) + g'(x)
contoh:
y = x³ + 2x²

 y’ = 3x² + 4x

Rumus 4 : Turunan Perkalian Fungsi Jika y f(x).g(x) maka y’ = f'(x) . g(x) + g'(x) . f(x)
contoh:
y = x² (x²+2) maka,
f(x) = x²
f'(x) = 2x
g(x) = x²+2
g'(x) = 2x
kita masukkan ke rumus y’ = f'(x) . g(x) + g'(x) . f(x)
y’ = 2x (x²+2) + 2x . x²
y’ = 4x³ + 4x 
Rumus 5 : Turunan Pembagian Fungsi

contoh:

Rumus 6 : jika sobat punya y = [f(x)]ⁿ maka turunannya adalah n [f(x)]^n-1 . f'(x)

contoh:

Rumus 7 : Turunan Logaritma Natural misal y = ln f(x) maka turunannya

contoh:

Rumus 8 : e^f(x) maka dy/dx = e^f(x).f'(x)
contoh :
y = e^2x+1
f(x) = 2x+1
f'(x) = 2
maka f’ = e^2x+1 . 2 = 2e^2x+1

Rumus 9 : Turunan Trigonometri Sin

misal:

y = sin f(x) maka y’ = cos f(x) . f'(x)
contoh :
y = sin(x² + 1) 
y’ = cos (x² +1) . 2x = 2x. cos (x² +1)

Rumus 10 : Turunan Trigonometri Cos

misal: 

y = cos f(x) maka y’ = -sin f(x). f'(x)
contoh :
y = cos (2x+1) 
y’ = -sin (2x+1) . 2 = -2 sin (2x+1)

MODUL MATEMATIKA KELAS XII SMK TEHNIK

     Dalam postingan saya kali ini ada berapa materi matematika untuk kelas 12 yang saya mau share. Modul ini disusun guna memberikan kemudahan bagi teman-teman yang mengalami kendala dalam mendapatkan referensi untuk mempelajari dan mengajarkan materi matematika khusunya di kelas XII SMK tehnik ( teknologi, kesehatan dan pertanian).  Silakan didownload. Semoga bermanfaat:

1. PELUANG
2. STATISTIKA
3. IRISAN KERUCUT
4. LIMIT FUNGSI DAN TURUNAN FUNGSI
5. INTEGRAL

PARABOLA

A. Bentuk Umum dan Sifat Parabola

Kurva fungsi kuadrat y = f( x ) = ax² + bx + c, a tidak sama dengan nol ( 0 ) berbentuk parabola.

Jika nilai a > 0 maka parabola terbuka ke atas dan mempunyai nilai ekstrem minimum

Jika nilai a < 0 maka parabola terbuka ke bawah dan mempunyai nilai ekstrem maksimum


Koordinat titik puncak / titik ekstrem / titik stationer / titik balik parabola adalah ( Xp , Yp )dengan :

  
Xp = absis ( x ) titik puncak = sumbu simetri = absis ( x ) saat mencapai nilai maksimum/minimum
Yp = ordinat ( y ) titik puncak = nilai ekstrem/nilai stationer/nilai maksimum/nilai minimum



B. Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat / Parabola

Langkah-langkah dalam membuat sketsa grafik fungsi kuadrat/parabola ( y  = ax² + bx + c ) :

1. menentukan titik potong grafik dengan sumbu x → y = 0

kemudian difaktorkan sehingga diperoleh akar-akarnya yaitu x₁ dan x₂ . jika kesusahan dalam memfaktorkan coba di cek dulu nilai D nya....

jika D < 0 maka fungsi tersebut memang tidak mempunyai akar-akar persamaan fungsi kuadrat sehingga sketsa grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu x

jika D > 0 maka fungsi tersebut mempunyai akar-akar persamaan fungsi kuadrat namun kita kesulitan dalam menentukannya... bisa jadi karena angkanya yang susah difaktorkan atau faktornya dalam bentuk desimal. Akar-akarnya dapat kita cari dengan rumus abc :

setelah kita mendapatkan nilai x₁ dan x₂ maka titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu x :
( x₁ , 0 ) dan ( x₂ , 0 )  

2. menentukan titik potong grafik dengan sumbu y → x = 0karena x = 0 maka y = c dan titik potong dengan sumbu y = ( 0 , c )

3. menentukan sumbu simetri ( xp ) dan titik ekstrem ( yp )

dari penentuan sumbu simetri ( xp ) dan nilai eksterm   ( yp ) diperoleh titik puncak grafik fungsi kuadrat/parabola : ( Xp , Yp )

Posisi grafik fungsi kuadrat/parabola terhadap sumbu x
mengulang pembahasan mengenai titik potong sumbu x → y = 0 ada 3 kemungkinan :

D > 0 → grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x di dua titik
D = 0 → grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu x di satu titik
D < 0 → grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu x

dengan menggabungkan dengan nilai a nya dapat dibuat sketsa grafik fungsi kuadrat/parabola :

C. Persamaan Fungsi Kuadrat / Parabola

1. Diketahui tiga titik sembarang

Rumus : y =  ax² + bx + c 

nilai a, b dan c ditentukan dengan eliminasi.



2. Parabola memotong sumbu x di dua titik ( x₁ , 0 )dan ( x₂ , 0 ) dan melalui satu titik sembarang.

 Rumus : y = a ( x - x₁ ).( x - x₂ )

nilai a ditentukan dengan memasukkan titik sembarang tersebut ke x dan y.



3. Parabola menyinggung sumbu x di satu titik ( x₁ , 0 ) dan melalui satu titik sembarang.

Rumus : y = a ( x - x₁ )² 
nilai a ditentukan dengan memasukkan titik sembarang tersebut ke x dan y.




4. Parabola melalui titik puncak ( x_p , y_p ) dan melalui satu titik sembarang.

Rumus : y = a ( x - x_p )² + y_p
nilai a ditentukan dengan memasukkan titik sembarang tersebut ke x dan y.




D. Hubungan Kurva Persamaan Kuadrat / Parabola dan Persamaan Garis Lurus

PERKALIAN DENGAN MENGGUNAKAN JARI KITA

         selamat siang semuanya kali ini saya akan berbagi mengenai tehnik berhitung menggunakan jari kita. Melakukan perkalian dengan menggunakan jari sering disebut dengan istilah jarimetika dan berhitung menggunakan tehnik ini memang jauh lebih gampang untuk dipelajari dan sangat mudah untuk dilakukan oleh anak-anak terutama yang masih SD.

             semoga apa yang saya bagi ini memberikan manfaat bagi yang membutuhkan dan bisa membantu permasalahan dalam hal berhitung

  PERKALIAN 7

A. PERKALIAN 7 DENGAN 1, 2, DAN 3

Contoh : Perkalian 7 X 2 dan 7 x 3

B. PERKALIAN 7 DENGAN 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Contoh : Perkalian 7 x 4 dan 7 x 6

PERKALIAN 8

A. PERKALIAN 8 DENGAN 1, 2, 3, 4, DAN 5

Contoh : 8 x 2 dan 8 x 4

MATERI LENGKAP MATEMATIKA SMP

selamat siang teman-teman semuanya hari ini saya akan membagikan tentang materi matematika di smp semoga berguna dan mempermudah dalam belajar.....

Materi Matematika SMP : 

1. Bilangan Bulat dan Operasi hitung Aljabar
2. Bilangan Pecahan, Perbandingan dan Skala
3. Himpunan
4. Sudut dan Garis
5. Segitiga dan Segiempat
6. Statistika
7. Relasi dan Fungsi
8. Sistem persamaan liniear
9. Lingkaran dan garis singgung
10. Bangun Ruang
11. Baris dan deret
12. Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat

MATERI LENGKAP MATEMATIKA SMA

Berdasarkan pengalaman, guru memerlukan persiapan materi ajar di kelas, membeli buku cetak membutuhkan biaya yang rumayan mahal. sehingga untuk membantu anda dalam menyampaikan materi matematika di sini saya upload seluruh materi dalam bentuk file word sehingga Anda dapat mengeditnya sendiri.

1. MATERI KELAS X

• Eksponen
• Logaritma
• Sistem Persamaan Linier
• Persamaan Kuadrat
• Pertidaksamaan KuadratSMA
• Trigonometri
• Dimensi Tiga
• Logika Matematika

 2. MATERI KELAS XI

• Statistik
• Peluang
• Trigonometri
• Lingkaran
• Suku Banyak
• Fungsi Komposisi dan Invers
• Limit Fungsi
• Turunan/Differensial

3. MATERI KELAS XII

• Integral
• Program Linier
• Vektor
• Matriks
• Barisan dan Deret
• Transformasi
• Persamaan Eksponen

RUMUS CINTA GOOGLE MATEMATIKA

Silakan masukkan fungsi matematika ini pada pencarian Google atau langsung blok dan klik kanan lalu Search Google for ….
(sqrt(cos(x))*cos(200 x)+sqrt(abs(x))-0.7)*(4-x*x)^0.01, sqrt(9-x^2), -sqrt(9-x^2) from -4.5 to 4.5

Bagaimana hasilnya? Lebih bagus kan? Ini saya capture dari halaman google

Segitiga Pascal

segitiga Pascal adalah suatu aturan geometri pada koefisien binomial dalam sebuah segitiga. yang menemukan segitiga pascal ini  sendiri merupakan seorang matematikawan asal perancis bernama Blaise Pascal. 

 Barisan segitiga Pascal umumnya dihitung dimulai dengan baris kosong, dan nomor-nomor dalam barisan ganjil biasanya diatur agar terkait dengan nomor-nomor dalam baris genap. Konstruksi sederhana pada segitiga dilakukan dengan cara berikut. Di barisan nol, hanya tulis nomor 1. Kemudian, untuk membangun unsur-unsur barisan berikutnya, tambahkan nomor di atas dan di kiri dengan nomor secara langsung di atas dan di kanan untuk menemukan nilai baru. Jika nomor di kanan atau kiri tidak ada, gantikan suatu kosong pada tempatnya. Misalnya, nomor satu di barisan pertama adalah 0 + 1 = 1, di mana nomor 1 dan 3 dalam barisan ketiga ditambahkan untuk menghasilkan nomor 4 dalam barisan keempat. Berikut  merupakan bentuk susunan lima baris pertama pada segitiga pascal: 

Penerapan segitiga pascal dalam matematika cukup banyak,beberapa di antaranya adalah untuk menetukan suku-suku dari jumlah atau selisih bilangan yang dipangkatkan, menghitung peluang dan menghitung banyaknya himpunan bagian. nah sekalian dulu untuk hari ini semoga bermanfaat

MATRIK

matriks adalah kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi, berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks.Nama sebuah matriks dinyatakan dengan huruf kapital dan elemen dari sebuag matrik disimbolkan dengan huruf kecil. Banyak baris x banyak suatu kolom dari suatu matriks disebut ordo matriks.
Secara umum matriks dapat ditulis dengan :


Dalam hal ini a_ij disebut elemen matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j.

2. Beberapa Jenis Matriks 

(i) Matriks Nol (0)

Adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol.

Adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol.

(ii) Matriks bujur sangkar

Adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya.

(iii) Matriks Bujur sangkar
Adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya.

(iv) Matriks Diagonal

Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen diluar elemen diagonal utama bernilai nol.

(v) Matriks Identitas
Adalah matriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai satu. 

(vi) Matriks Segitiga Atas
Adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemen dibawah diagonal utamanya bernilai nol.

(vii) Matriks Segitiga Bawah
Adalah Matriks bujur sangkar yang elemen-elemen diatas diagonal utamanya bernilai nol.


3. Operasi Matriks

1. Penjumlahan atau pengurangan matriks

Matriks A dan B dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordo A = ordo B

b. Perkalian Matriks dengan Skalar
Jika Skalar dikalikan dengan matriks, maka akan diperoleh sebuah matriks yang elemen- elemennya merupakan perkalian skalar tersebut dengan setiap elemen matriks. 


Sifat-sifat:


c. Perkalian Dua Matriks
Dua matriks A dan B dapat dikalikan bila banyak kolom matriks pertama (kiri) sama dengan banyak baris matriks kedua (kanan).

Jika diketahui Matriks A_mxn dan B_nxk maka : 



4. Transpos Matriks
Transpos dari suatu matriks merupakan pengubahan baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Tranpos dari matriks A dinotasikan dengan A^Tatau A^t. 


Sifat : (A^T) ^T = A

5. Determinan Matriks
Matriks yang mempunyai determinan hanyalah matriks bujur sangkar (banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom). 


Sifat-sifat determinan matriks:



6. Invers matriks
Bila  maka invers dari A adalah :

Syarat ad-bc  0

Contoh :

Jawab:

Sifat-sifat :